Дослідницький проєкт "Докази теореми Піфагора"

У межах науково-дослідницької роботи з математики (геометрії) на тему "Докази теореми Піфагора" учениця 8 класу школи провела аналіз літератури з даного питання, який показав, що існує велика кількість доказів добре відомої нам теореми. Детально учениця вивчила ці докази, а також зібрала у роботі яскраві ілюстрації до них.

Докладніше про роботу:

У представленому дослідницькому проєкті з математики (геометрії) "Докази теореми Піфагора" учениця 8 класу також розглянула історію життя великого вченого, визначила, що заслуга Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінний науковий доказ теореми, тому, на думку учениці, теорема й носить його ім'я. Це єдина в світі теорема, яка має так багато доказів. Автор дізнається про створену Піфагором «школу», знайомиться з залугами стародавнього вченого.

Під час проведення дослідницької роботи (проєкту) з математики про докази теореми Піфагора учениця 8 класу школи дійшла про те, що пошук доказів розвиває вміння аналізувати, логічно мислити, розширює зорову уяву. В ході дослідження учениця дізналася багато нового та розширила знання в галузі математики.

Зміст

Вступ
1. Життя Піфагора і його школа
2. Докази теореми Піфагора
2.1. Доказ Евкліда
2.2. Доказ Ан-Найрізія
2.3. Давньокитайський доказ
2.4. Давньоіндійський доказ
2.5. Доказ стародавніх індусів
2.6. Доказ Леонардо да Вінчі
2.7. Доказ Темпельгофа
2.8. Метод Г. Перигаля
2.9. Теорема Німфи (теорема метелика)
2.10. Фізичний доказ
Висновок
Список літератури

Дослідницька робота присвячена темі доведення теореми Піфагора. У проєкті я розглянула основні відомості про життя Піфагора і створеної ним піфагорійської школі. Деякі класичні докази теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. У шкільному підручнику з геометрії дається алгебраїчний доказ теореми і тому я вирішила знайти інші способи доведення теореми Піфагора. Я також з'ясувала в яких областях нашого життя можливе застосування даної теореми. Чому багато вчених знову і знову намагалися якось по своєму довести цю теорему?

І хоча історія математики майже не зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора і його математичної діяльності. Зате легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми.

Піфагор Самоський (близько 570-490 рр. до н. е.) – великий грецький вчений. Рідкісна людина не чула цього імені. І пов'язане воно з відомою теоремою Піфагора. Про життя Піфагора достовірно майже нічого не відомо, але з його ім'ям пов'язана велика кількість легенд. Піфагор народився на острові Самос. Батьком Піфагора був Мнесарх-різьбяр по коштовних каменях. Ім'я Матері Піфагора не збереглося. Піфагор - це не ім'я, а прізвисько, яке філософ отримав за те, що завжди говорив вірно і переконливо, як грецький оракул. (Піфагор - "переконує промовою".). Піфагор дуже любив музику Гомера і кожен свій день починав зі співу однієї з пісень Гомера.

Серед вчителів юного Піфагора були старець Гермодамант і Ферекід Сіросський. У 550 році до н.е. Піфагор, за порадою Фалеса, відправляється в Єгипет. Навчався він там 11 років. По дорозі на батьківщину, він потрапляє у вавилонський полон. Вавилоняни, на той час, вже вміли вирішувати лінійні, квадратні і деякі види кубічних рівнянь. Вони успішно застосовували теорему Піфагора більш ніж за 1000 років до Піфагора. Втікши з полону, він не зміг довго залишатися на батьківщині через те, що там панувала атмосфера насильства і тиранії. Він вирішив переселитися в Кротон (грецька колонія на півночі Італії).

Піфагор організував у грецькій колонії на півдні Апенінського півострова релігійно-етичне братство, яке згодом назвуть піфагорійським союзом. Члени союзу повинні були дотримуватися певних принципів: по-перше, прагнути прекрасного і славного, по-друге, бути корисними, по-третє, прагнути високої насолоди. Будучи мудрим вчителем, Піфагор навчав людей різним наукам: математиці, медицині, політичній діяльності. На думку піфагорійців, первісним світу є число. Головне число – одиниця - монада. Одиниці відповідає точка, двійці - дві точки, але через дві точки вже можна провести пряму, виходить, що числу два відповідає пряма; трійці - три точки, але якщо їх з'єднати, то виходить вже площина; через чотири точки будується простір, який, відповідає четвірці.

Головним піфагорійським символом - символом здоров'я і розпізнавальним знаком – була пентаграма або піфагорійська зірка.
Союз процвітав більше двадцяти років, а потім почалися гоніння на його членів, багато хто з учнів були вбиті. Про смерть самого Піфагора ходило багато самих різних легенд, але вчення Піфагора і його учнів продовжувало жити.

Хоча теорема Піфагора називається його ім'ям, вона була відома в Стародавньому Вавилоні за 1200 років до Піфагора, а в Єгипті за 2000 років до нього був відомий прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5. Практичну цінність теореми Піфагора неможливо переоцінити, оскільки вона лежить в основі обчислення всіх відстаней в евклідовій геометрії.

Стародавні зодчі брали мірний шнур-мотузку, розділену вузлами на дванадцять рівних частин, з'єднували її кінці (дванадцятий і нульовий вузол) і, розтягуючи на землі, забивали кілочки в землю на третьому, сьомому і дванадцятому поділах. При цьому виходив трикутник з відносинами сторін 3:4:5 і він при будь-яких розмірах буде прямокутним. Отримавши прямий кут без всяких обчислень, будівельники могли його збільшувати до потрібних розмірів, переносити у вертикальну площину.

Заслуга Піфагора полягає в тому, що він вперше дав суворий доказ теореми. У цьому взагалі полягає заслуга давньогрецьких вчених: вони заклали основу сучасного наукового методу, тобто вперше подивилися на науку не як на набір рецептів і правил "роби так" (як це було раніше в стародавніх китайських, вавилонських і єгипетських трактатах, без пояснення причин, чому саме потрібно "чинити так"), а з точки зору обгрунтування причин. Як чудово сказав Демокріт,"доказ для мене означає більше, ніж заволодіти всім перським царством".

На даний час відомо близько 500 різних доказів теореми Піфагора. У книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара говорить: «головне в математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного, і на знайомі речі подивитися по-новому. Розглянемо деякі докази.

У Евкліда ця теорема говорить (дослівний переклад):
"У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут". Протягом двох тисячоліть найпоширенішим був доказ теореми Піфагора, придуманий Евклідом. Він поміщений в його знаменитій книзі «Початки».

Евклід опускав висоту СН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутника, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах. Отже:

САК= DAB по двох сторонах і куту між ними: CA = DA, AB = AK, CAK = DAB (т.к. CAK = 900 + CAB и DAB = 900 + CAB). Площа CAK = ½ площі AHJK, тому що AK – загальна основа, а KJ – загальна висота. Аналогічно, площа DAB = 1/2 площі ADEC (DA – загальна основа, DE – загальна висота). Рівні трикутники мають рівні площі, тому площа САК = площі DAB. Отже, площа AHJK = площі ADEC. Аналогічно, з того що ABG = CBI, випливає, що площа HBIJ = площі CFGB. Отримуємо, що сума площ AHJK и HBIJ дорівнює площі більшого квадрата ABIK і дорівнює сумі площ двох менших квадратів. Отже, AB2 = AC2 + CB2 , тобто квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Що і потрібно було довести.

Креслення, яке застосовано при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу воно вважалося одним із символів математичної науки.

Доказ теореми Піфагора учні середніх віків вважали дуже важким і називали його Dons asinorum - ослиний міст, або elefuga - втеча "убогих", так як деякі "убогі" учні, які не мали серйозної математичної підготовки, бігли від геометрії. Слабкі учні, які завчили теореми напам'ять, без розуміння, і прозвані тому "ослами", були не в змозі подолати теорему Піфагора, яка була для них наче непереборний міст. Через креслення, що супроводжують теорему Піфагора, учні називали її також "вітряком", складали вірші на кшталт "Піфагорові штани на всі боки рівні", малювали карикатури.

Якщо на гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника побудувати відповідні квадрати, то квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.

Доказ ґрунтується на тому, що рівноскладені фігури рівновеликі: квадрати, побудовані на катетах і гіпотенузі, розбиваються на багатокутники так, що кожному багатокутнику зі складу квадрата на гіпотенузі відповідає рівний багатокутник одного з квадратів на катетах.

Досить подивитися на креслення, щоб зрозуміти весь доказ. Цей доказ дав Багдадський математик і астроном X ст. Ан-Найрізій.

Це цікавий давньокитайський доказ отримав назву "стілець нареченої" через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов.

Математичні трактати Стародавнього Китаю дійшли до нас в редакції II ст. до н. е. У 213 р. до н. е. китайський імператор Ши Хуан-ді, прагнучи ліквідувати колишні традиції, наказав спалити всі стародавні книги. У другому столітті до н.е. в Китаї був винайдений папір і одночасно починається відтворення стародавніх книг.

Так виникла тематика в дев'яти книгах - головний зі збережених математико-астрономічних творів у книзі «Математики» поміщене креслення (мал. а), що доводить теорему Піфагора. На цьому кресленні чотири рівних прямокутних трикутника з катетами а, в і гіпотенузою с укладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною а + в, а внутрішній – квадрат - квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі (мал. б).

Якщо квадрат зі стороною с вирізати і 4 затушованих трикутника, які залишились, укласти в два прямокутника, то ясно, що утворилася порожнеча, яка з одного боку дорівнює с2, а з іншого – а2 + в2, значить с2 = а2 + в2. Що і потрібно було довести. Давньокитайські математики мали й інший доказ. Якщо в квадраті зі стороною с два заштрихованих трикутника (мал. б) відрізати і прикласти гіпотенузами до двох інших гіпотенуз (мал. г), то легко побачити, що отримана фігура, яку і називають «кріслом нареченої», складається з двох квадратів зі сторонами а і в, тобто с2 = а2 + в2.

Математики Стародавньої Індії помітили, що для доведення теореми Піфагора досить використовувати внутрішню частину давньокитайського креслення. У написаному на пальмовому листі трактаті " Сіддханта широмані» ("Вінець знання") найбільшого індійського математика ХІІ ст. Бхаскари поміщене креслення (а) з характерним для індійських доказів словом «дивись!».

Як бачимо, прямокутні трикутники покладені тут гіпотенузою назовні і квадрат с2 перекладається в «крісло нареченої» а2 – в2 (б). Зауважимо, що окремі випадки теореми Піфагора (наприклад, побудова квадрата, площа якого вдвічі більше площі даного квадрата) зустрічаються в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» (VII – V ст. до н. е.).

Квадрат зі стороною (а+в) можна розбити на частини або як на малюнку А), або як на малюнку б). Ясно, що жовті частини на обох малюнках однакові. А якщо від рівних (площ) відняти рівні, то залишаться рівні, тобто с2 = а2 + в2. Втім, стародавні індуси, яким належить це міркування, зазвичай не записували його, а супроводжували лише одним словом: Дивись!

У кожному шестикутнику велика діагональ розбиває його на два рівновеликих чотирикутника. Всі чотири отримані чотирикутника рівновеликі. Отже, площі цих шестикутників рівні. Площа першого шестикутника складається з суми площі жовтого квадрату і двох площ прямокутного трикутника (рожевого).

Площа другого шестикутника складається з площі синього і зеленого квадратів і двох площ прямокутного трикутника (рожевого). Віднімаючи з рівних площ площі двох прямокутних трикутників, отримаємо, що площа жовтого квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах (синій і зелений). Що і потрібно було довести.

Автор доказу - пруський генерал, військовий теоретик та історик. Доказ Дж. Гарфілда (він був 20-м президентом США) заснований на підрахунку площі прямокутної трапеції двома способами: з одного боку, як суми площ зазначених на малюнку трикутників, а з іншого, за формулою добутку напівсуми основ трапеції на висоту.

Очевидно таку назву отримала теорема через схожість креслення з метеликом, а словом «німфа» греки називали метеликів. Німфами греки називали ще й наречених, а також деяких богинь.

При перекладі з грецької арабський перекладач, мабуть, не звернув уваги на креслення і переклав слово «німфа» не як «метелик», а як «наречена». Тоді з'явилася ще одна назва теореми – «Теорема нареченої».

Його автор був лондонським біржовим маклером і астрономом-аматором. Метод ще називають "Колесо з лопатями". Через центр квадрата, побудованого на більшому катеті, проведені прямі, паралельні і перпендикулярні гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення.

Суть методу в тому, що при переливанні рідини, вміст двох менших посудин повністю заповнює більшу посудину. Висоти цих посудин однакові. Обсяги дорівнюють добутку площі основ (квадратів) на висоту. При переливанні виявилося, що обсяги двох малих посудин рівні обсягу більшого.

Тому площі основ (квадратів) також рівні. Виходить, що сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрату, побудованого на гіпотенузі. Що і потрібно було довести.

В ході науково-дослідницької роботи з математики про докази теореми Піфагора вивчення матеріалу, я дізналася багато про стародавнього вченого Піфагора, про створену ним «школу», познайомилася з деякими цікавими доказами теореми Піфагора. Деякі з доказів, записаних коротко, я спробувала розібрати і доповнити своїми міркуваннями. Виявилося, що ця, добре відома багатьом людям теорема, дуже давня. Багато стародавніх вчених намагалися по своєму довести цю теорему, настільки вона їм була цікава.

Також в рамках дослідницького проєкту з математики у 8 класі про докази теореми Піфагора я з'ясувала, що заслуга Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінний науковий доказ теореми. Думаю, що тому цій теоремі і дали його ім'я. Є докази, які розраховані на те, що за готовими малюнками, можна відтворити доказ самостійно.

Я це і спробувала зробити. Теорема Піфагора є єдиною теоремою з такою великою кількістю доказів. Це говорить про значущість даної відомої теореми. Пошук нових доказів розвиває вміння аналізувати, розвиває логічне мислення, зорову уяву.

В ході дослідження в рамках проєктної роботи різних способів доведення відомої теореми Піфагора, я дізналася для себе багато нового, поліпшила навички логічного мислення, розширила знання з математики, а точніше геометрії.

1. Підручник «Геометрія 7-9»
2. Г.І. Глейзер Історія математики в школі VII – VIII класи, посібник для вчителів, - М: 1982 р. Енциклопедичний словник юного математика
3. А.І. Щетніков “Піфагорійське вчення про число і величину“. 1997.