Проєкт "Чудові математичні криві: троянди і спіралі"

Авторка дослідницької роботи (проєкту) з математики на тему "Чудові математичні криві: троянди та спіралі" розкриває в 11 класі основні теоретичні відомості про криву та спіраль. Учениця в рамках матеріалу з диференціальної геометрії вивчає такі чудові математичні криві, як троянди і спіралі, а також розбирається в областях застосування кривих та спіралей.

Докладніше про роботу:

Викладена ученицею 11 класу дослідницька робота на тему "Чудові математичні криві: троянди та спіралі", розроблена в рамках предмету математика (алгебра, геометрія), містить результати опитування учнів школи стосовно їх освідомленності про існування троянд Гвідо Гранді та Архимедової спіралі та знань про області застосовуватися цих кривих в житті людини.

Учениця 11 класу при роботі над навчальним дослідницьким проєктом про чудові математичні криві - спіралі та троянди провела вивчення, узагальнення літератури та досліджень за цією темой математики (диференціальної геометрії). Авторка прийшли до висновку, що без "троянд" і спіралей було б неможливо існування багатьох рослин, тварин та космічних галактик. А без знання таких фігур люди не змогли б створювати цю красу в архітектурі, ландшафтному дизайні і у будь-який інший своїй діяльності.

Зміст

Вступ
Глава 1. Криві та їх види
1.1. Поняття кривої
1.2. Парабола і гіпербола
1.3. Еліпс
1.4. Троянди Гвідо Гранді та Полярна система координат
Глава 2. Застосування кривих і спіраль Архимеда.
2.1. Застосування троянд Гранді
2.2. Архимедова спіраль
2.3. Застосування спіралі Архимеда.
2.4. Соціальне опитування
Висновок
Список літератури
Додаток.

Математика це світ цифр і розрахунків, який дозволяє зрозуміти безліч загадок життя з точністю.

Актуальність: актуальністю даної теми є те, що в шкільні програми входять основи, а про цікаві теорії часто забувають, наприклад такі чудові математичні криві, як троянди і спіралі.

Мета: вивчити застосування троянд Гранді і спіралі Архимеда в нашому житті.

Завдання:

• З'ясувати, що таке троянда Гранді і спіралі;
• Встановити які види троянд і спіралей існують;
• З'ясувати їх застосування;
• Зробити висновки і дати загальний висновок.

Поняття кривої на (або лінії) площині є узагальненням поняття графіка функції, а криві в просторі — це об'єкти, що узагальнюють криві на площині. Наприклад, множина точок на площині з координатами x і y, що задовольняють рівняння
y² − x = 0,
"нічим не гірше" добре відомої зі шкільного курсу математики параболи, але не є графіком ніякої функції (воно "склеєне" з двох графіків — y = √x і y = −√x). Криві відіграють надзвичайно важливу роль в геометрії, алгебрі і навіть в астрономії.

Криві на площині.
Розглянемо тепер криві загального вигляду.
Кривою на площині (або плоскою кривою) називається множина точок, координати яких задовольняють рівнянню F (x,y) = 0, (10) де функція F така, що принаймні одна з похідних Fx' і Fy' відрізняється від нуля в кожній точці кривої.

Функція виду y=ax² + bx + c, де a, b, c – деякі числа, причому, а≠0 число, х – змінна, називається квадратичною функцією.

Графіком квадратичної функції є парабола, вона має вершину і дві гілки, які можуть бути спрямовані або вгору, або вниз.

Вершина параболи. Формула
Щоб знайти координати вершини параболи (х₀; у₀), треба скористатися формулою:
х₀= - b/2a.
для знаходження у₀ можна просто підставити значення х₀ в формулу даної функції y₀=ax²+bx+c замість х.

Значення х, при яких функція приймає значення, рівні нулю, називаються нулями функції. Іншими словами, значення абсцис (х) точок перетину гілок параболи з віссю х, називаються нулями функції.

Гіпербола

Гіпербола - це графік функції зворотної пропорційності, яка в загальному вигляді задається наступною формулою: y=k/x

• x - незалежна змінна;
• k ≠ 0;
• при k > 0 гіпербола розташована в I і III чвертях координатної площини;
• при k < 0 графік знаходиться в II і IV чвертях.
• Лінії графіка називаються його гілками.
• Осі абсцис і ординат (Ox і Oy) є асимптотами гіперболи, тобто гілки нескінченно до них наближаються, але ніколи їх не торкнуться і не перетнуть.
• Вісь симетрії - це пряма:
• y = x (при k > 0)
• y = - x (при k < 0)

Нехай на площині задана пряма L і точка f, що не лежить на цій прямій. Множина точок площини, рівновіддалених від L і f, називається параболою. При цьому пряма L називається директрисою параболи, а точка f — її фокусом. Перпендикулярна директрисі і проходячи через фокус пряма називається фокальною віссю. Точка перетину параболи з фокальною віссю називається вершиною цієї параболи.

Гіперболою називається безліч всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок тієї ж площини, званих фокусами, є величина постійна, менша відстані між фокусами.

Еліпсом називається безліч всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок тієї ж площини, званих фокусами, є величина постійна, велика відстані між фокусами.
Це геометричне визначення виражає фокальну властивість еліпса.

Фокальна властивість еліпса
Точки F₁ та F₂ називаються фокусами еліпса, відстань між ними 2с=F₁F₂ — фокусною відстанню, середина O відрізка F₁F₂ — центром еліпса, число 2a — довжиною великої осі еліпса (відповідно, число a — великою піввісь еліпса).

Відрізки F₁M і F₂M, які з'єднують довільну точку M еліпса з його фокусами, називаються фокальними радіусами точки M. Відрізок, який з'єднує дві точки еліпса, називається хордою еліпса.

Відношення e=c/a називається ексцентриситетом еліпса. З визначення (2a>2c) випливає, що 0≤e<1. При e=0, тобто при c=0, фокуси F₁ і F₂, а також центр О збігаються, і еліпс є колом радіусу а.

Геометричне визначення еліпса, яке виражає його фокальну властивість, еквівалентно його аналітичному визначенню - лінії, заданої канонічним рівнянням еліпса:

x²/a² + y²/b² = 1

Основні властивості еліпса.

1. Кут між дотичною до еліпса і фокальним радіусом r₁ дорівнює куту між дотичною і фокальним радіусом r₂
2. Рівняння дотичної до еліпса в точці М з координатами (x_М, y_М): 1= xx_М / a² + yy_М / b²
3. Якщо еліпс перетинається двома паралельними прямими, то відрізок, що з'єднує середини відрізків утворилися при перетині прямих і еліпса, завжди буде проходити через центр еліпса. (Ця властивість дає можливість побудовою за допомогою циркуля і лінійки отримати центр еліпса.)
4. Еволюцією еліпса є астероїда, що розтягнута вздовж короткої осі.

У 18 столітті італійський геометр Гвідо Гранді (1671-1742) створив криві лінії з точними плавними контурами. Вони були схожі на квітку. Сімейство цих кривих було названо сімейством троянд Гвідо Гранді. Їх точні риси не примхи природи, вони зумовлені особливо підібраними математичними залежностями. Ці залежності були підказані самою природою, адже в більшості випадків абрис листа або квітки являє собою криву, симетричну щодо осі.

Свої чарівні квіти Гвідо Гранді зібрав в одну книгу і назвав її «Квітник троянд». Гранді відомий своєю роботою "Flores geometrici" (1728). Дана робота дозволяє вивчати криві, які мають форму пелюсток квітки. Він назвав троянди кривої rhodonea і назвав криву Clelia на честь графині Клелії Борромео.

Полярна система координат

Положення будь-якої точки P в просторі (зокрема, на площині) може бути визначено за допомогою тієї чи іншої системи координат. Числа (або інші символи), що визначають положення точки, називаються координатами цієї точки. Залежно від цілей і характеру досліджень вибирають різні системи координат.

Полярна система координат - двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами — полярним кутом і полярним радіусом.

Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відносини між точками простіше зобразити у вигляді радіусів і кутів; в більш поширеній, декартовій або прямокутній системі координат, такі відносини можна встановити тільки шляхом застосування тригонометричних рівнянь. Полярна система координат задається променем, який називають нульовим або полярною віссю.

Точка, з якої виходить цей промінь, називається початком координат або полюсом. Отже: позитивним напрямком відліку кутів вважається напрямок "проти годинникової стрілки".
Основними поняттями цієї системи є точка відліку – полюс, і промінь, що починається в цій точці – полярна вісь.

У фотографії. Вертикальні лінії після того, як до них застосований фільтр (переводить координати точок з прямокутної системи в полярну), стали розходитися з центральної точки.

На біржі. Незвичайний формат біржових графіків запропонував в 1990–і роки математик Володимир Іванович Єлісєєв (Р – ціна угоди Ф – час її здійснення, використовуючи таку систему координат, відносно просто зв'язати градуси і час (в році 365 днів, в окружності - 360 градусів).

У військовій справі. Координати цілі можуть видаватися в полярній системі координат (азимут, дальність), прямокутної (X, Y), геодезичної (широта, довгота).

У бджіл. Бджоли використовують полярні координати для обміну інформацією про джерела їжі. Знайшовши нове джерело їжі, бджола-розвідниця повертається у вулик і виконує танець, мовою якого розповідає, де знаходиться клумба. Причому все це схоже на двухлепестковую троянду. Таким чином, бджола-розвідниця повідомляє іншим бджолам полярні координати нового джерела їжі.

У медицині. Комп'ютерна томографія серця в системі полярних координат.

У системах ідентифікації людини. Результат перетворення кільця райдужної оболонки з декартової системи координат в полярну.

У різних галузях науки і техніки. Вимірювальний проектор призначений для вимірювання різних параметрів у прямокутній та полярній системах координат. Застосовується у вимірювальних лабораторіях і цехах підприємств точного приладобудування, машинобудування, мікроелектроніки, в інструментальному виробництві.

"Спіраль - застигла в танці пряма". Архимед є видатним давньогрецьким математиком, інженером і винахідником свого часу. Народився він в 287 році до н.е. в місті Сіракузи на Сицилії. Батько Фідій був фізиком і математиком, що знаходився при дворі.

Архимед отримав чудову освіту, але він розумів, що все-таки йому бракує теоретичних знань, які були дані раніше. Тому проводив в Олександрійській бібліотеці весь свій вільний час. Після закінчення навчання став працювати при дворі астрономом, створив планетарій. Так як в той час було модно вивчати астрономію, то всі вважали, що сонце і місяць обертаються навколо Землі, але тільки Архимед припустив, що саме всі планети кружляють навколо Сонця. Крім цього він вивчав механіку, фізику і математику, свої праці він виклав у своїх роботах «Про рівновагу плоских фігур», далі пішов твір «Про зміну кола».

У вченого багато відкриттів, які він присвітив своїй батьківщині. Йому вдалося відтворити ричагово-блокові механізми, які дозволяють перевозити важкі вантажі набагато швидше. Так само у Архимеда існують безліч робіт пов'язаних з алгеброю, геометрією, арифметикою. Розробив всебічний метод обчислення площі різноманітних фігур. Створив теорію про врівноваження рівних тіл.

Спіраль - це гвинтоподібна крива, яка огинає умовний центр або вісь, поступово віддаляючись наближаючись до осі. Спіраль - плоска крива лінія. Спіральні форми часто зустрічаються в природі: галактики, вири, і смерчі , раковини молюсків, папілярні лінії пальців, подвійна спіраль молекули ДНК.
Існує безліч видів спіралей і всі вони дуже цікаві і красиві.

Види спіралей:
1. Плоска спіраль:

1. Архимедова спіраль;
2. Спіраль Ферма;
3. Гіперболічна спіраль;
4. Логарифмічна спіраль;
5. Спіраль Фіббоначчі і золота спіраль;
6. Спіраль Кореня.

2. Тривимірна спіраль:

1. Сферична спіраль.

Теорія побудови Архимедової спіралі
Це плоска крива, яка в полярній системі координат описується дуже простим рівнянням: r=ф
Зобразимо полярну систему координат, точка " О " - полюс, r - полярна вісь, при ф=0, r=0.
Ми отримаємо координати полюса, потім у міру збільшення «ф» збільшиться «r», тобто збільшиться відстань від точок кривої до полюса. Отримуємо криву, яка називається спіраллю Архимеда. При цьому, якщо ф>0 (приймає тільки позитивні значення ) ми отримуємо праву спіраль. В іншій полярній системі зобразимо ліву спіраль. Ліва спіраль виглядає наступним чином ф<0 (приймає тільки негативні значення) і ми отримуємо ліву спіраль.

Проведемо промінь "А". Нехай промінь "ОА" обертається навколо точки "О". Зафіксуємо точку "М", яка на початковому етапі збігається з точкою "О". Нехай точка "М" рівномірно рухається вздовж променя "ОА", який обертається навколо осі "О". Траєкторія руху точки "М" при цьому описує криву, яка називається спіраллю Архимеда.

Лінія, яку називають спіраллю Архимеда, будується в полярних координатах і визначається рівнянням:
r=αφ
Тут α - це позитивне число, r - полярний радіус.

Застосування в техніці.
Спіраль Архимеда в даний час широко використовується в техніці. Одне з винаходів вченого-гвинт (прообраз об'ємної спіралі) - використовувалося як механізм для передачі води в зрошувальні канали з низьколежачих водойм.

Спіраль Архимеда і послідовність Фібоначчі.
Спіраль Архимеда має тісний зв'язок з послідовністю Фібоначчі. Даний закон математики описує принцип спіралі Архимеда і золотого перетину. Їх тісний зв'язок можна спостерігати у багатьох явищах і елементах природи - в пристрої раковини молюсків, суцвітті соняшнику і сукулентних рослин, фрактальної капусти і соснових шишок, людини і цілих галактик.

Спіраль Архимеда в природі
У природі спіраль проявляється в трьох основних формах: застиглої (раковини равлика), тієї що розширюється (зображення спіральних галактик) або тієї що стискається (подоба виру). Спіральні форми представлені від еволюційних глибин (молекули ДНК) до законів діалектики. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривою життя". Спіраль близька до кола - ідеальній формі з усіх, що створила природа. Стихійні і природні елементи, що мають форму спіралі, дуже поширені в природі. Це спіральні туманності, галактики, вири, смерчі, торнадо, пристрої рослин.

Перед початком дослідницької роботи (проєкта) про чудові математичні криві - троянди та спіралі ми провели соціологічне опитування для подальших висновків і розуміння всієї важливості питання вивчення даної теми, в якому пройшли 11 осіб зі старшої школи.

Опитування включало наступні питання:

1. Чи знаєте ви про існування троянд Гвідо Гранді?Про Архимедову спіраль?
2. Як ви думаєте, де можуть застосовуватися троянди Гвідо Гранді?
3. А Архимедові спіралі?
4. Чи зацікавила вас ця тема?

1 питання: 54,5% відповіли так, 45,5% відповіли ні.
2 питання: відповіли в будівництві, геометрії, фотографії та математиці. Так само відповіли, що не знають, але дуже цікаво дізнатися.
3 питання: відповіли в математиці, техніці, садівництві.
4 питання: 80% відповіли так, 20% відповіли ні.

З усієї даної дослідницької роботи (проєкта) про чудові математичні криві: троянди і спіралі можна зробити висновок, що спіралі і троянди займають важливу і значиму роль в нашому житті. Нами була приведена Класифікація кривих Гвідо Гранді і описані їх основні властивості. Дослідивши, як змінюються криві Гвідо Гранді, ми встановили зв'язок між кількістю пелюсток, їх формул і симетричності отриманого малюнка.

В ході роботи над індивідуальним дослідницьким проєктом про чудові математичні криві і спіралі ми отримали велику різноманітність форм "троянд" Гвідо Гранді, які дають фантазію для їх застосування. За допомогою різних кривих в полярних координатах і графічних редакторів ми можемо зробити, наприклад, різні малюнки, рамки-орнаменти або прикрасити ними фон листівок.

Без "троянд" і спіралей було б неможливо існування багатьох рослин, тварин, космічних галактик. Так само без знання таких фігур люди не змогли б відтворювати дану красу в архітектурі, ландшафтному дизайні і будь-який інший своїй діяльності.

Провівши дослідження на тему дослідницької роботі (проєкту) з математики (алгебри і геометрії) про чудові криві, ми дізналися багато цікавого пов'язаного з математичними розрахунками, спіралями, трояндами, про їх значення і прояви в природі і діяльності людини.

Провівши опитування, ми дізналися, що багато хто не знає про існування і «троянд» Гвідо Гранді, і Архимедових спіралей. Дослідницька робота допомогла прийти до висновку, що все завжди пов'язане з навколишнім світом, і нічого не виникає з нізвідки.

1. Савелов А.А. Плоскі криві. Систематика, властивості, застосування. 1960 рік. (довідкове керівництво).
2. Гільберд Д. Наочна геометрія. 1981 рік.
3. Бюшгенс С. С. Диференціальна геометрія. 2008 рік.
4. Тайманов І. А. Лекції з диференціальної геометрії. 2006 рік.